Centres étrangers, mai 2022 (partiel)

On considère la fonction  \(f\) définie pour tout réel \(x\)  par \(f (x) = 1 +x - \text{e}^{0,5x−2}.\)

1. Déterminer la limite de \(f\)  en \(-\infty\) .

2. a. Démontrer que, pour tout réel  \(x\) non nul, \(f (x) = 1 + 0, 5x\left(2 − \displaystyle\frac{\text{e}^{0,5x}}{0, 5x} \times \text{e}^{−2}\right)\) .
    b. En déduire la limite de la fonction  \(f\) en \(+\infty\) .